lunes, 6 de julio de 2009

TEOREMAS FUNDAMENTALES SOBRE LIMITES

Teoremas fundamentales sobre límites Teoremas fundamentales sobre límites

En los apartados anteriores hemos determinado el límite de una función en un punto, utilizando para ello la representación gráfica de la función. Sin embargo, se hace necesario poseer otros criterios que permitan agilizar el proceso. Con este fin es que estudiaremos algunos teoremas básicos para determinar el límite de una función en un punto.


Teorema 1 (sobre la unicidad del límite)

Sea F una función definida en un intervalo I c R tal que .
Si
y entonces L=M.

O sea, el valor del límite de una función en un punto es único.


Teorema 2 Si m y b son números reales entonces .



Teorema 3

Si y k es un número real entonces se cumple que



Teorema 4
Si entonces



Teorema 5
Si f y g son dos funciones para las que y entonces se cumple que:



Teorema 6

Límite de la n-esima potencia de una función.

Si y n es cualquier número entero positivo, entonces



Ejemplo 7.

Sea, entonces,



Teorema 7. Límite del cociente de dos funciones.

Si y , entonces



Ejemplo 8.

Sean, y entonces,



Teorema 10. Límite de la raíz n-ésima de una función.

Si n es un número entero positivo y , entonces

con la restricción que si n es par, L > 0.



Teorema 11. Límite del logaritmo de una función.

Sean: b un número real positivo y distinto de 1, y entonces

Ejemplo 10.

Calcule: aplicando el teorema 2.12.

Apliquemos el teorema exigido:

Sin aplicar el teorema:



Teorema 12. Unicidad del límite de una función.

Si y entonces,

Este teorema asegura que si el límite de una función existe éste es único.

Continuidad de una función.

Función continua en un número.

Una función f es continua en un número a si y sólo si se satisfacen las tres condiciones siguiente:

  1. f (a) existe;

  2. existe;


  3. Si por lo menos una de estas tres condiciones no se cumple en a, entonces se dice que la función f es discontinua en a.

Ejemplos 20.

1) La función definida por es discontinua en 2, pues dicha función no está definida en el 2. Veamos como es su comportamiento gráficamente, mostrado en la figura 9.
















La gráfica muestra un salto en el punto (2; 4), esto se debe a la discontinuidad de la función en x= 2, por lo tanto, f(2) no existe. Observando la gráfica se sospecha que existe y es igual a 4.

Veamos si esto es cierto:



Cuando una función f presenta las características anteriores, es decir, no está definida en un número a pero existe, se dice que f presenta una discontinuidad removible o eliminable, porque si f es redefinida en a de manera que la nueva función es continua en a. Si una discontinuidad no es removible se dice que es una discontinuidad esencial.



Teorema de estricción o del encaje.


Si para todo x en un intervalo abierto que contiene a a, excepto en el propio a y si entonces

Ejemplo 2.19.

Sean f, g y h las funciones definidas por y

Las gráficas de estas funciones están trazadas en la figura 8.


Las gráficas de h, f y g son parábolas que tienen sus vértices en el punto (3; 2). Las tres funciones están definidas en x = 3. También se observa que Además, y Por lo tanto, de acuerdo al teorema de estricción



FUNCION POLINOMIAL




































No hay comentarios:

Publicar un comentario